Đại số là gì?
Phổ thông: giải phương trình
Đại học: nghiên cứu các cấu trúc với các phép toán hai ngôi (nhóm, vành, trường, không gian tuyến tính)

Phản ánh quá trình hình thành môn Đại số trong lịch sử (gần 4000 năm)
Nguồn gốc chữ "Đại số"
Cã xuÊt xø tõ cuèn s¸ch cña nhµ to¸n häc ¶ rËp Al Khwarizmi (800 – 847):
Hisab al-jabr wal-muqabala
(Khoa häc vÒ sù c©n b»ng vµ l­îc gi¶n)
Néi dung: c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh
Al-jabr => Algebra => §¹i sè
Al Khwarizmi => Algorithm => ThuËt to¸n
Dấu tích đầu tiên
Ai Cập: 1800 - 1600 trước c/n
các cuộn giấy Papyrus chứa các bài toán
giải phương trình bậc nhất

Babilon (Irak): 1800 trước c/n
các bảng đất xét chứa các bài toán giải phương trình bậc hai, phương trình hai biến bậc hai

Chú ý: Babilon phát triển hơn
Papyrus Rhind
Tác động của việc biểu diễn các số
Ai cập
hệ thập phân
dùng các chữ để biểu diễn các số lớn
=> tính toán khó khăn
Babilon
hệ sáu mươi (ví dụ: giờ đồng hồ)
dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn
=> dễ tính toán hơn => đại số phát triển hơn
Đặc điểm Đại số thời cổ đại
Các bài toán có ngữ cảnh đời thường
Các con số được chọn lọc để có nghiệm nguyên
Không có số không và số âm
Nặng về số học
Không dùng ký hiệu
Không có suy luận và chứng minh
(là toán nhưng chưa phải là toán học)
Hy lạp (600 - 100 năm trước c/n)
Trung tâm thương mại (hàng hải)
Giao lưu của nhiều văn hoá và tín ngưỡng khác nhau
Nhu cầu tìm hiểu thế giới tự nhiên
Sự hình thành nghề "thông thái": Appolonius, Archimedes, Aristoteles, Demokrit, Euklid, Hippokrates, Plato, Pythagoras, Zeno
Sự ra đời của toán học
Câu hỏi trọng tâm "tại sao"
(trước kia "thế nào)
Quan tâm đến các vấn đề toán học thuần tuý
Toán học có suy luận và chứng minh
Nặng về hình học (3 vấn đề nổi tiếng nhất: chia ba một góc, nhân đôi hình lập phương, cầu phương đường tròn)
Bộ sách "Cơ sở" của Euklid
13 tập: tổng kết kiến thức toán học Hy Lạp
Xây dựng hình học trên cơ sở một hệ tiên đề
Cuốn sách được in nhiều thứ hai trên thế giới
Sách giáo khoa cho nhiều thế kỷ sau (vua Càn Long đã học cuốn sách này) và ảnh hưởng đến tận ngày nay (các chứng minh hình học)
Giải phương trình thông qua hình học
(các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số dương)
Euklid
Cuốn sách Đại số đầu tiên
Diophantus (~ 250 trước c/n): "Số học"
9 tập: còn lưu lại 6 tập gồm 189 bài toán giải phương trình và hệ phương trình bậc hai với các cách giải khác nhau
Chỉ xét nghiệm dương hữu tỷ
Không dùng hình học để giải
Dùng ký hiệu để biểu diễn phương trình, ẩn số, phép trừ, số mũ (gieo mầm đại số trừu tượng)
La Mã (200 trước c/n - 1100 sau c/n)
Thêi kú ®en tèi cña khoa häc vµ ®Æc biÖt lµ to¸n häc
ChÕ ®é n« lÖ vµ phong kiÕn quan liªu
ChØ cã mét tÝn ng­ìng, gi¸o ®iÒu
Kinh tÕ n«ng nghiÖp, kh«ng khuyÕn khÝch ph¸t triÓn khoa häc
Điểm sáng Tiểu á (700 - 1200)
Vua Al Mamun (~ 800) thành lập "Ngôi nhà của các nhà thông thái" tập trung các nhà khoa học các dân tộc (có thư viện và đài thiên văn)
Phát huy và giữ gìn các thành tựu của toán học Hy Lạp (ta biết về toán học Hy Lạp thông qua các bản dịch ả rập của thời kỳ đó)
Chịu ảnh hưởng của toán học ấn Độ và Trung Quốc (hệ thập phân và cách viết theo vị trí)
Cuốn sách của Al Khwarizmi
Nghiên cứu hệ thống việc giải phương trình
Dùng hình học để giải (ảnh hưởng của toán học Hy Lạp)
Không chấp nhận số âm và số không =>
phân loại phương trình phức tạp
Không dùng ký hiệu mà dùng số cụ thể
Được dịch sang tiếng Latin, nguồn chính cho việc truyền bá Đại số sang châu Âu (một số ví dụ luôn xuất hiện ở các sách Đại số sau này)
Al Khwarizmi
Thời kỳ Phục Hưng (1200 - 1600)
Thương mại phát triển đặc biệt ở Italia
Hình thành các đế chế ở châu Âu
Sự giao lưu thúc đẩy toán học phát triển (kế toán, thiên văn, v.v)
Sử dụng hệ thập phân và cách biểu diễn số theo vị trí
Các trường đại học ra đời

Giải phương trình bậc ba
Người có công đầu tiên: delle Ferro (1465-1526), giáo sư trường Đại học Bologna (đại học đầu tiên trên thế giới)
giải phương trình dạng ax3 + bx = c (hệ số dương)
Trường hợp tổng quát: Tartaglia (1500-1557)
Công bố: Cardano (1501-1576) trong cuốn sách "Ars Magna"

Tranh cãi bản quyền khoa học đầu tiên
Tartaglia
Cardano
Cuộc cách mạng "Ars Magna"
Chứa đựng những ý tưởng mới sau hơn hai nghìn năm (từ thời Babylon)
Lần đầu tiên xuất hiện số âm và số ảo (Cardano coi những số này không tồn tại trên thực tế, nhưng có thể tính toán được)
Hạn chế: dùng ngôn ngữ hình học, không dùng ẩn số

Chú ý: số ảo xuất hiện qua việc biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba
Giải phương trình bậc bốn
Ferrari (1522-1565, học trò của Cardano):
lời giải dựa trên việc giải phương trình bậc ba
Công bố trong "Ars Magna"

Bước tiến lớn: các nhà toán học trước đó không công nhận có đại lượng bậc bốn (vượt khuôn khổ không gian ba chiều)
Phương pháp bất định
Cuốn "Số học" của Diophantus dùng ký hiệu ẩn số đầu tiên nhưng bị quên lãng (do ảnh hưởng của phương pháp hình học), được tìm thấy lại 1463
Bombelli (1530-1572): công bố sách "Đại số" viết lại Ars Magna, dùng ẩn số thay lời (tiện lợi hơn cho suy luận và tổng quát hóa)
Viete (1540-1603): dùng ký hiệu (bất định) cho các hệ số
=> dọn đường cho đại số trừu tượng ra đời
Viete
Số phức
Bombelli: dùng số phức một cách hệ thống
Gauss (1777-1855):
- chứng minh mọi đa thức đều có nghiệm phức (Định lý cơ bản của Đại số)
- chỉ ra việc dựng hình bằng thước kẻ và compa có liên quan chặt chẽ đến việc giải phương trình

ý nghĩa: Tồn tại các cấu trúc đại số ngoài các hệ số thông thường
Gauss
Cân bằng Đại số và Hình học
Lịch sử cổ đại và trung đại: Đại số chịu ảnh hưởng của Hình học
Descartes (1596-1650): phương pháp tọa độ cho phép giải các bài toán hình học bằng đại số

Cách mạng: đẩy Đại số lên một tầm cao mới với những ứng dụng mới
Đoạn tuyệt với quan niệm về chiều hình học của các số khi giải phương trình

Descartes
Giải phương trình bậc cao
Vấn đề giải phương trình bằng căn thức
Abel (1802-1829): không có công thức tổng quát giải phương trình bậc > 4 (dùng nhóm đối xứng)
Galois (1811-1832): tiêu chuẩn để một phương trình giải được bằng căn thức (đưa ra khái niệm nhóm)
Abel
Galois
Sự ra đời của các cấu trúc Đại số

Mở đầu: nhóm và phép toán hai ngôI (Galois)
Hamilton (1805-1865): trường quaternion (không giao hoán)
Grassmann (1809-1877): không gian tuyến tính (chiều bất kỳ)
Dedekind (1831-1916): trường, vành
Đại số hiện đại
Đặc điểm: "thoát khỏi" các vấn đề cụ thể của số học và giải phương trình
Những người tiên phong: Noether (1882-1935), Artin (1898-1962)
Hệ thống: cuốn sách "Đại số hiện đại" của Waerden (1903-1996)
Nghiên cứu các cấu trúc toán học với các quan hệ hai ngôi
Noether
Artin
Đại số ngày nay

"Đại số hiện đại" = Đại số cơ sở

Câu hỏi "Đại số là gì?" sẽ do tương lai trả lời