Nội dung bài giảng
Tôi chia lịch sử giải tích làm ba giai đoạn:
Trước Newton Leibniz (đại diện là Archimedes, Kepler, Descartes, Huygens, Sluse, tính từ 500 BC đến thế kỷ 17)
Thời kỳ Newton, Leibniz (đại diện là hai người này, tính từ giữa thế kỷ 17 đến đầu thế kỷ 18)
Sau Newton, Leibniz (đại diện là hai anh em Bernoulli, Euler, L` Hopital, Cauchy, Gauss, Bolzano, Abel, Weierstrass, Cantor, Dedekin, Heine, tính từ đầu thế kỷ 18 cho đến hết thế kỷ 19)
Nhưng trước hết tôi muốn nói rằng lịch sử giải tích là lịch sử thống nhất, có sự kế thừa liên tiếp. Mặc dù
Nội dung bài giảng (tiếp)
không có chiến tranh, hoặc những xung đột gay gắt nhưng trong giải tích cũng có những cuộc tranh luận và những lời chỉ trích khá chua cay. Bên cạnh những cây đại thụ lớn còn có một số nhà toán học khác có những đóng góp đáng kể.
Đối thủ của Newton là Leibniz;
Đối thủ của Descartes là Fermat;
Đối thủ của Fourier là Poisson;
Đối thủ của Jacob Bernoulli là người em Johann Bernoulli (dòng họ này có ba thế hệ làm giải tích xuất sắc)


Giải tích toán học là gì?
Giải tích toán học (Mathematical Analysis) còn có tên là phép tính các đại lượng vô cùng bé và vô cùng lớn (calculus of Infinitely Small and Large Quantities) hoặc phép tính vi tích phân (Calculus of Differentiation and Integration), hoặc gọi tắt là Calculus), ra đời vào nửa cuối thế kỷ 17. Calculus là ngành toán học nghiên cứu chuyển động và sự thay đổi của vật chất. Nơi nào có chuyển động hoặc sự tăng trưởng thì nơi ấy có thể dùng Calculus.

Giải tích toán học là gì?
Phép tính vi phân cho phép ta xác định mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong, tính tốc độ và gia tốc của vật chuyển động .. Phép tính tích phân cho phép ta tính diện tích mặt, tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể theo tốc độ của nó ..
Có rất nhiều học giả xuất chúng tham gia xây dựng lĩnh vực toán học này. Đầu tiên phải kể tới Sir Issac Newton (1642-1727), người Anh), Barow Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Trước Newton và Leibniz cần phải nhắc tới nhà thiên văn Johannes Kepler (1571-1630), người Đức, đã giành 20 năm để
Giải tích toán học là gì? (tiếp)

để khám phá ra ba định luật chuyển động của các hành tinh.
Mỗi hành tinh chuyển động theo một ellipse có một tiêu điểm là mặt trời.
Bán kính vector từ mặt trời tới hành tinh quét những diện tích như nhau trong những thời gian như nhau.
Bình phương chu kỳ quay của hành tinh quanh mặt trời tỷ lệ với luỹ thừa ba của nửa trục lớn, tức là, nếu T là chiều dài quãng đường hành tinh đi được trong
Giải tích toán học là gì? (tiếp)
một năm và a là nửa trục lớn của ellipse tương ứng thì T^2/a^3 có giá trị không đổi đối với mọi hành tinh trong hệ mặt trời.
Bằng Calculus ta có thể rút ra ba định luật trên từ các định luật chuyển động của Newton, nhưng đấy là công việc "buổi chiều". Vậy là Kepler nhờ các quan sát thực nghiệm đã mô tả hệ mặt trời hoạt động như thế nào, sau đó Newton và Leibniz dùng Calculus giải thích vì sao lại như thế. Theo tôi điều này chứng tỏ vật lý, cơ học, thiên văn là cội nguồn của giải tích.
Nguồn gốc
Có 4 nguồn gốc chính
Tính toán với các ký hiệu bằng chữ (Viette)
Hình học giải tích (Descartes, Fermat)
Y tưởng về hàm số là khái niệm trung tâm của giải tích (Euler, Dirichlet)
Trường số thực (Dedekind, Cantor)



Về danh từ giải tích (Analysis) và tổng hợp (Synthesis)
Gọi việc cộng của một số đại lượng là một tổ là tổng hợp (sythesis)
Gọi việc chia tách của một tổng cho trước là giải tích (analysis)
Giải tích là việc tách của một bài toán cho trước ra nhờ các bước đúng đắn và lôgíc cho đến khi ta kết thúc với một điều gì đó mà ta đã biết là đúng hay mâu thuẫn.
Ngày nay giải tích bài toán của người Hy lạp trở thành phương pháp giải tích

Về danh từ giải tích (Analysis) và tổng hợp (Synthesis) (tiếp)

Thế kỷ 18, thuật ngữ giải tích giải thích đôi khi còn có nghĩa là áp dụng của tính toán đại số cho hình học.
Nhưng từ đầu thế kỷ 18 thuật ngữ giải tích dần dần nhận ý nghĩa của nó.
Giải tích từ thời xưa nói về hình học và do đó chỉ sử dụng khi có hình học trợ giúp; giải tích hiện đại bao gồm tất cả các đối tượng đo được và sử dụng số học thông dụng bằng cách đặt các mối liên hệ giữa các lượng vào phương trình.

Khái niệm về số và lượng của người Hy lạp
Số như đối tượng toán học
Gosta Mittag-Leffler đã nói rằng số là khởi nguồn của suy nghĩ, câu này đã được khắc đá vào lò sưởi của Viện toán của ông.
Toán học cổ điển nhất của Hy lạp, (có nghĩa là giảng dạy, hướng dẫn) là lý thuyết toán học đơn giản nhất về số chẵn, số lẻ, và là đối tượng của cuốn sách Cơ sở của Euclid và sự phân biệt đơn giản này đã dẫn đến những kết quả đáng kể
Bài toán cầu phương
Tiền sử
Phép đo vòng tròn của Archimedes



Tiền sử
Bài toán cổ nhất của giải tích liên quan đến việc tính toán độ dài đường cong, diện tích mặt, và thể tích của khối.
Trong toán học cổ Hy lạp, diện tích của một hình được tính nếu tồn tại một phép dựng hình của một hình vuông có diện tích đã cho.
Trong trường hợp không thể hoặc không biết cách xác định một lượng bằng một phép dựng hình, người Hy lạp sử dụng "xấp xỉ".
Phép đo vòng tròn của Archimedes
Archimedes sử dụng một phương pháp gọi là nén với hình đa giác nội tiếp và ngoại tiếp 96 cạnh. Theo danh từ hiện đại thì ông đã thu được các cận sau của số pi
Phép đo vòng tròn của
Archimedes (tiếp)
Hiệu số giữa cận trên và cận dưới chỉ là 0,0002!
Khônng có nhà toán học Hy lạp nào sử dụng ký hiệu pi để ký hiệu tỷ số của chu vi với đường kính; ký hiệu này của William Jones (1706) và được Leonard Euler phổ cập. Ông sử dụng công thức

tính diện tích đường tròn bán kính r để đi đến kết quả của mình.





Dsfs
Sdfs
Sdfsd
Sdf


Phép đo vòng tròn
của Archimedes (tiếp)
Archimedes đã không đưa ra phương pháp tổng quát để vét hết vòng tròn.
Ông đã tìm ra mối liên hệ giữa S_n và S_2n.
Theo quan điểm của chúng ta, dễ thấy rằng mối liên hệ này là mối liên hệ biểu diễn sin x và sin (x/2). Vì vậy phương pháp là sự khởi nguồn của lượng giác.
Những đóng góp của Archimede đối với toán học vô cùng bé
Cuộc đời (~287 trước CN)
Tác phẩm
Phương pháp cơ học
Có phải Archimede đã nghĩ ra khái niệm tích phân không?
Cuộc đời Archimedes
Vua Hieron của Syracuse đòi Archimedes kiểm tra thành phần vàng trong vòng nguyệt quế của mình

Khi đang tắm, Archimedes phát hiện ra nguyên lý cân bằng giữa cơ thể nổi và lực đẩy của nớc. Ông chạy ra đường mà không dừng lại mặc quần áo và hô vang từ ``eureka!``, có nghĩa là ``tôi tìm ra rồi" trên môi khi chưa kịp đưa ra các thí nghiệm cần thiết.
Cuộc đời Archimedes (tiếp)
Một câu nổi tiếng không kém của Archimedes nữa, phát biểu sau khi hạ thấp một chiếc thuyền xuống nước chỉ bằng vật nặng và hệ thống ròng rọc, rằng "cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nâng trái đất lên = give me a place to stand and I can move the earth"
Phương pháp cơ học
Tự nhiên được sắp xếp bởi các quy luật toán học chứ không phải tinh thần

Archimedes nghiên cứu các bài toán vật lý bằng phương pháp toán học.
Phương pháp cơ học (tiếp)

Tôi cần phải giải thích để viết ra chi tiết nét đặc sắc của một phương pháp nhờ đó anh có thể bắt đầu nghiên cứu một số vấn đề toán học bằng vật lý. Chẳng hạn một vài sự việc trở nên rõ ràng với tôi nhờ phương pháp cơ học, mặc dù những điều này cần phải chứng minh chi tiết bằng hình học, vì việc nghiên cứu bằng phương pháp đã nói không cung cấp một chứng minh thật sự. Tất nhiên sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta đã có được, nhờ phương pháp này, một số kiến thức về câu hỏi
Archimedes không coi phương pháp cơ học tự nó đã

Phương pháp cơ học (tiếp)
mang tính lập luận về mặt toán học; các kết quả đạt được nhờ suy diễn cần phải được chứng minh chặt chẽ. Phương pháp này đã được dùng như là một chuẩn mực so sánh chặt chẽ cho tới tận ngày nay.
Hình trụ ngoại tiếp hình cầu có thể tích bằng 3/2 thể tích hình cầu. Archimedes rõ ràng đã coi kết quả này là hết sức quan trọng vì theo ý nguyện của ông, những từ này đã được khắc vào bia mộ của ông.


Có phải Archimedes nghĩ ra khái niệm tích phân?
Trừ việc không chuyển tới giới hạn, phép cầu phương xấp xỉ parabol tương ứng với tích phân của hàm liên tục bằng phép lấy tổng của các hình chữ nhật khi sử dụng tổng trên và tổng dưới như sách giáo khoa phổ thông hiện đại. Theo quan điểm hiện đại, dường như ta đã gặp tổng trên tổng dưới Darboux của tích phân Riemann.
Phương pháp của Newton và Leibniz
Giới thiệu
Phương pháp chuỗi và Fluxions của Newton
Giới thiệu
Từ những năm 1660 đến những năm 1680 , Isaac Newton và Gottfried Wilhem Leibniz đã tạo ra cái mà ngày nay ta gọi là tính toán vô cùng bé.
Ba khía cạnh của những việc họ làm cho toán học:
Thu gọn bài toán
Tính diện tích theo quá trình ngược của tính tiếp tuyến.
Xây dựng thuật toán
Giới thiệu(tiếp)

Xác định trọng tâm, diện tích, thể tích, tiếp tuyến, độ dài cung, bán kính cong, diện tích mặt,... mà đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học thế kỷ 17 là các thí dụ của hai bài toán cơ bản. Hơn nữa, họ đã nhận thức đầy đủ rằng hai bài toán này là ngược của nhau (đó là định lý cơ bản của calculus).
Calculus của Newton và Leibniz không đề cập đến hàm số



Giới thiệu (tiếp)
Continuum mà Newton và Leibniz nói là hình học hay động học. Việc Newton và Leibniz phát triển phương pháp giới hạn của họ thường gán cho continuum động học hoặc hình học trực giác.
Phương pháp chuỗi
và Fluxions của Newton
Một nhà toán học làm việc trong cô lập
Chuỗi nhị thức
Một nhà toán học
làm việc trong cô lập
Trong thời kỳ này, Newton đã tiến hành các thí nghiệm với thấu kính, khiến ông tin bản chất phức hợp của ánh sáng trắng, phát biểu định lý nhị thứ đối với luỹ thừa phân, phát hiện phép tính fluxions, và dự đoán về chuyển động của mặt trăng.
Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao
Gottfried Wihelm Leibniz sinh ra ở Leipzig năm 1646 trong một gia đình theo đạo Cơ đốc và có nguồn gốc Slavơ. Cha ông, một giáo sư đại học Leipzig, mất năm 1652, để lại một thư viên đồ sộ, nơi cậu bé Gottfried bắt đầu cuộc đời nghiên cứu của mình. Ông theo học triết học và luật tại các trường đại học Leipzig, Jena, và Altdorf.

Ông cũng học số học sơ cấp và đại số. Hồi đầu, ông bắt đầu thiết lập dự án xây dựng
Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)
ngôn ngữ toán học mà từ đó các lập luận theo lối diễn dịch được thực hiện. Các bản thảo của ông liên quan đến lập luận có sử dụng biểu tượng (symbolical reasoning) cho thấy sự khởi đầu của đại số lôgíc thế kỷ 19. Leibniz không bao giờ từ bỏ chương trình sáng tạo "tính phổ quát của ký tự". Ông quan niệm nghiên cứu toán học như một phần trong dự án đầy tham vọng của mình.
Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)
Cụ thể hơn, mối quan tâm của ông đến dãy số đóng vai trò trong việc phát minh ra phép tính vi phân và tích phân. Sau khi nhận bằng tiến sĩ năm 1666 của trường Đại học Altdorf, làm việc ở Mainz. Từ năm 1672 đến 1676, ông là nhà ngoại giao ở Paris, ở đây ông gặp một số nhà toán học nổi tiếng. Chính tại Paris, theo lời khuyên của Huygens,
Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)
Leibniz học toán, vài tháng sau ông đã nghiên cứu sâu sắc tất cả tài liệu đương thời có liên quan và có khả năng viết những công trình khởi thảo. Ông phát hiện ra Calculus từ 1675 đến 1677. Ông công bố các quy tắc của phép tính vi phân năm 1684 ở tạp chí Acta eruditorum, một tạp chí khoa học mà ông giúp thành lập năm 1682. Năm 1676, thời kỳ nghiên cứu của ông ở Paris kết thúc. Sau năm 1676, ông làm việc tại tòa án ở Hanover.
Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)
Ông bắt tay vào các đề án chính trị, quan trọng nhất là hợp nhất nhà thờ thiên chúa. Leibniz rất hào phóng trong việc chia sẻ các phát minh toán học thông qua tạp chí khoa học và thư từ. Trong khi Newton giữ bí mật các phương pháp thì Leibniz hết sức cố gắng để truyền bá lợi ích của Calculus ở Basel, Paris và Italia, và trao đổi với một số nhà toán học như anh em nhà Bernoulli, l` Hopital, Varigno...
Johann Bernoully mở rộng phép tính tích phân và áp dụng nó vào động học.
Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)

Leibniz chết năm 1716. Đưa tiễn ông chỉ có những ngời họ hàng và thư ký của ông. Quan tâm tri thức của Leibniz trải rộng từ kỹ thuật đến toán học, từ vật lý đến logic, từ chính trị đến tôn giáo. Đời sau ghi nhớ ông nh một trong những nhà toán học sâu sắc nhất và một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của mọi thời đại.