Giải tích đại số thế kỷ 18


Sự phát triển của phép tính vô cùng bé trong thế kỷ 18 chịu ảnh hưởng từ cơ học, quang học, và vũ trụ học.
Trong quá trình phát triển dài lâu, cơ học lý thuyết về tổng thể đã tách khỏi các ngôn ngữ hình học của Newton và được phát biểu lại dưới ngôn ngữ của nhiều phương trình.
Các ngành mới như thuỷ lực học (hydrodynamics) và đàn hồi được ra đời, vượt xa những nỗ lực của Newton. Hầu hết các nhà giải tích lớn của thế kỷ 18 đều tham gia vào quá trình này.
Các nhà toán học có đóng góp cho quá trình phát triển của giải tích trong thế kỷ 18 chỉ là một nhóm nhỏ.

Anh em nhà Jakob và Johann Bernoulli là những đại diện tiêu biểu cho trường phái phép tính vi phân của Leibniz.
Jakob, sinh 27 tháng 12 năm 1654. Đầu tiên ông nghiên cứu thần học nhưng sau đó ông nghiên cứu toán, vật lý và thiên văn, có một thời gian dài ở nước ngoài. Ông tự học phép tính vô cùng bé của Leibniz và sau đó dạy lý thuyết này cho em trai của mình là Johann
Jakob Bernoulli
Johann Bernoulli
Daniel Bernoulli

Johann, sinh ngày 27 tháng 7 năm 1667. Johann đi tới Geneva và Paris sau khi học y học. ở Geneva và Paris Johann giới thiệu cho Marquis de l`Hopital về phép tính vô cùng bé năm 1690 và 1691.
Họ thoả thuận rằng Bernoulli sẽ cho phép l`Hopital được dùng tuỳ thích các kết quả của Johann theo một văn bản bí mật, và đổi lại, ông ta nhận một khoản thu nhập hàng năm khá lớn. Năm 1696, l`Hopital công bố giáo trình đầu tiên của mình về phép tính vi phân, Analyse des infiniment petits, có sử dụng các bài viết của Bernoulli.

Năm 1695 Johann dạy toán tại trường đại học Groningen. Sau những hợp tác ban đầu giữa hai anh em nhà Bernoulli này, Jacob và Johann ngày càng trở thành những kẻ kình địch của nhau cả trong khoa học lẫn đời thường. Theo tập tục của thời đó, họ thách thức nhau bằng cách công khai đặt ra các bài toán. Những ganh đua này lại rất tốt cho sự phát triển của phép tính vô cùng bé, và là cơ hội để nhiều kết quả, phát minh khác ra đời. Điển hình là bài toán branchistochrone (đoản trình), đó là bài toán dẫn tính phép tính biến phân.

Ngoài các công trình về phép tính vô cùng bé về cơ học, Jakob Bernoulli đã viết một cuốn sách cơ bản về xác suất, Ars conjectandi,
Sau cái chết của người anh mình, Johann Bernoulli thế chân người anh ở Basel và sau 1710 thì Johann chủ yếu nghiên cứu các vấn đề cơ học. Sau khi Leibniz chết và Newton không nghiên cứu khoa học nữa, Johann được xem là nhà toán học đầu đàn của châu Âu. Johann mất ngày 1 tháng 1 năm 1748.
Học trò xuất sắc nhất của Johann Bernoulli là Leonhard Euler.

Euler có một trí nhớ phi thường và là bậc thầy của tính toán.

Trong khi các sách của Johann những bài toán cơ học, hình học giữ vai trò nổi bật, còn sách của Euler (Euler 1748/1988), (Euler 1755/200) và (Euler 1768-1770) chỉ có ít ứng dụng và được viết theo cách đại số.
Leonhard Euler.

Ta có thể chia phép tính các vô cùng bé ở thế kỷ 18 thành các giai đoạn khác nhau.
Đến tận những năm 1730, nó được coi là một phần hay phương pháp hình học. Điều này rất rõ ở Johann Bernoulli và có thể thấy qua các cuốn sách của ông.
Trong suốt giai đoạn thứ hai khoảng giữa thế kỷ 18, khái niệm đại số ẩn đã rõ ràng. Các quan niệm cơ sở được xem xét khi nhắc đến hình học. Nhưng phần mở đầu cuốn Introductio của mình Euler chỉ nói về các đại lượng theo nghĩa các con số thay vì các đại lượng hình học (Euler 1749/1988,2). Cấu trúc của lĩnh vực và quan niệm về đối tượng được trình bày trong sách này là đại số thuần tuý.

Khái niệm hàm trở thành cơ sở và Euler hiểu hàm số như là những biểu thức đại số hoặc giải tích.
Vào cuối thế kỷ này, các cuốn sách của Lagrange 1797 và 1801 đã đưa vào khái niệm đại số hiện. Lagrange loại trừ các khái niệm vi phân, vô cùng bé và định nghĩa đạo hàm của hàm số không cần sử dụng giới hạn như là hệ số của x trong khai triển thành chuỗi luỹ thừa của hàm f(x)với giả thiết khai triển phải tồn tại.
Trong phần mở đầu cuốn Complete introduction into algebra Euler viết," Toán học, nói chung, là khoa học về lượng; hay là khoa học nghiên cứu các phương pháp đo các đại lượng" (Euler 1771/1972,1). Ông định nghĩa lượng là một cái gì đó có thể tăng hoặc giảm,

Vào thế kỷ 18, việc hiểu phép tính vô cùng bé, nói chung, phải gắn với ba khái niệm cơ bản là vi phân, hàm số và chuỗi luỹ thừa.
Theo Euler, phép tính vi phân không đề cập tới chính vi phân mà với tỉ số của chúng.
để lợi cho tính toán người ta thích không coi tất cả các lượng trong một phương trình là như nhau mà là xem một vài cái là biến độc lập còn biến kia là biến phụ thuộc. Đấy chính là quan điểm của hàm số và như vậy, vào thế kỷ 18 ngày càng có nhiều người thừa nhận rằng người ta nên tính toán với hàm số và đạo hàm hơn là với các lượng biến đổi và các vi phân của chúng.

Tuy nhiên trong nhiều áp dụng, tự nhiên hơn, người ta thường nói về các lượng biến đổi và vi phân của chúng. Đó là quan điểm mà các nhà vật lý và kỹ sư áp dụng khi họ thiết lập phương trình vi phân. Cũng như thế, khi giải các phương trình vi phân, việc xem các biến có vai trò như nhau thường có lợi. Do đó, ý tưởng về vi phân được bảo vệ vì tính ứng dụng của nó, và một phần hay của văn hoá toán thế kỷ 19 trở nên dễ hiểu hơn nếu vi phân được xem là lượng vô cùng bé. Cả hai cách, phép tính đạo hàm và vi phân còn giữ vai trò cho đến ngày nay.

Công cụ quan trọng nhất của biểu diễn hàm số là chuỗi luỹ thừa. Các nhà toán học của thế kỷ 18 chủ yếu xét các chuỗi luỹ thừa như là đa thức vô hạn.

đề cập tới chuỗi phân kỳ là một đặc điểm quan trọng của giải tích thế kỷ 18.


Trong cuốn sách dưới dạng bản thảo viết cho l`Hopital, Johann Bernoulli đã đặc tả cơ sở khái niệm của phép tính vi phân mới thành ba định đề nhằmchứng tỏ rằng phép tính vi phân theo trường phái Leibniz được xây dựng theo quan điểm vô cùng bé thực sự
(1) Một lượng mà tăng hoặc giảm theo một lượng vô cùng bé nhỏ hơn thì cũng không tăng mà cũng không giảm.
(2) Mỗi đường cong gồm vô số những đoạn thẳng vô cùng bé.
(3) Hình mà bị chứa giữa hai toạ độ, hiệu của các hoành độ và mẩu vô cùng bé của đường cong bất kỳ được xem là một hình bình hành. (Bernoulli 1692, 12)
Định lý Taylor
Brook Taylor là người đầu tiên công bố định lý mà ngày nay mang tên ông; nhưng thật ra ông không phải là người đầu tiên phát hiện ra điều này. Trước ông, ít nhất đã có năm nhà toán học đã biết định lý này hoặc dạng tương đương của nó. Đó là J. Gregory, (1671), I. Newton (1691), G.W. Leibniz (khoảng 1670), Johann Bernoulli (1694), và A. de Moivre (1708).
Brook Taylor
ý tưởng của Euler đặt khái niệm hàm - trung tâm của Introduction là bước tiến đáng kể.
Johann Bernoulli là người đầu tiên nói về hàm của các toạ độ trong bài báo về bài toán đẳng chu năm 1698. Theo đó, ông hiểu biểu thức bất kỳ mà chứa các toạ độ như biến số.
Euler viết: Một hàm của lượng biến đổi là một biểu thức giải tích bao gồm lượng biến đổi và số hay các lượng hằng số theo cách tuỳ ý .
Khái niệm hàm giải tích

Cuốn sách Introductio . của Euler (1748)
Các hạn chế của khái niệm hàm giải tích
Khái niệm hàm giải tích làm cơ sở trong cuốn Introductio của Euler đã ngự trị giải tích thế kỷ 18 cho tới tận khi một cách hiểu mới bắt đầu được thừa nhận nhờ công trình của Cauchy. Tuy nhiên, một vài hạn chế của cách tiếp cận trước đây đã được thấy rõ ở thế kỷ 18. Điều này đã diễn ra trong suốt một cuộc tranh luận nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học.
Việc mở rộng phạm vi những nghiệm có thể tới những hàm gián đoạn đã bị d`Alembert phản đối kịch liệt. Ông đòi hỏi có một khái niệm hẹp hơn về hàm số.
Cauchy
Các hạn chế của khái niệm hàm giải tích (tiếp)
Cuộc tranh luận này được các nhà toán học khác theo đuổi qua nhiều nhiều ấn bản và không bao giờ được hoà giải. Về nguyên tắc, các lập luận của d`Alembert là thoả đáng.
Daniel Bernoulli, con trai của Johann Bernoulli, đưa ra một lập luận hoàn toàn mới trong cuộc tranh luận này. Trong một bài báo xuất bản năm 1753, ông đã cố gắng giải bài toán bằng những lập luận thuần tuý vật lý. Ông đã thảo luận các thí nghiệm mà từ đó ông kết luận mọi vật rung đều tạo ra nhiều tiếng động
d`Alembert
Cơ sở giải tích thế kỷ 19
Giới thiệu
Khái niệm hàm số
Cauchy và giáo trình Giải tích
Gauss, Bolzano, Abel, Weirstrass
Giới thiệu
Thế kỷ 19 thường được gọi là thời kỳ chặt chẽ,
Phong trào hướng tới sự chặt chẽ có thể xem như là một quá trình sáng tạo.
Nó sản sinh ra các lĩnh vực mới của toán học đặc biệt đặt tôpô làm cơ sở cho giải tích, đề cập tới những khái niệm hoàn toàn mới như liên tục đều và tính đầy đủ.
Việc dạy học là một động lực quan trọng khác đứng sau sự chặt chẽ của giải tích.
Giới thiệu (tiếp)
các cơ sở của giải tích phải xét lại.
Cùng lúc đó, giải tích tự tách khỏi hình học.
nhiều lỗ hổng đã được phát hiện trong lập luận của Euclid
một vài nhà toán học đã tìm các chứng minh định lý giá trị trung gian nói rằng một hàm liên tục nhận giá trị cả âm và dương trên một khoảng thì sẽ nhận giá trị zero.
Euclid
Giới thiệu (tiếp)
thế kỷ thứ 18, các nhà toán học đã cố gắng xây dựng cơ sở giải tích dựa trên đại số thay cho hình học. Điều này đã bị phản đối ở thế kỷ 19. Thay vào đó, các số tự nhiên và số học được đề cao, năm 1870, số học hoá đã trở thành khẩu hiệu. Các số thực (và số phức) được xây dựng từ các số hữu tỷ; các số hữu tỷ lại được xây dựng từ số tự nhiên và giải tích dựa trực tiếp vào công cụ mới này hoàn toàn không dùng hình học.
Giới thiệu (tiếp)
Người ta có thể chia sự chặt chẽ hoá của giải tích thành hai thời kỳ: Một giai đoạn của người Pháp do Cauchy đứng đầu và một giai đoạn Đức do Weirstrass đứng đầu. Điều này chứng tỏ rằng bức tranh được thừa nhận rộng rãi của toán học thế kỷ 19 tức là người Pháp là người dẫn đầu về khái niệm toán học, cho tới giữa thế kỷ 19, sau đó người Đức thay thế.
Cauchy
Khái niệm hàm số
Từ thời Euler, calculus là lý thuyết hàm. Nhưng hàm số là gì? ý nghĩa của khái niệm này thay đổi theo thời gian. Euler đưa ra hai định nghĩa. Hàm số được xác định như là hàm số giải tích, chứa hằng số và các biến nhưng sau đó, hàm số được định nghĩa như là một biến phụ thuộc vào biến khác. Tuy nhiên, trong giáo trình giải tích của Cauchy, cuốn sách đầu tiên mở ra thời kỳ chặt chẽ, hàm số được định nghĩa chặt chẽ như là các biến phụ thuộc vào các biến khác.
Khái niệm hàm số (tiếp)
Một năm sau, Fourier đã bác bỏ rõ ràng hơn khái niệm hàm như biểu thức giải tích. Trong công trình chính của ông, Lý thuyết giải tích, ông viết
Nói chung hàm biểu diễn liên tiếp các giá trị hoặc toạ độ tuỳ ý. Vô số giá trị được gắn với trục x thì cũng có từng đó số gắn với toạ độ f(x). Tất cả các giá trị hằng số xác thực hoặc âm, hoặc dương, hoặc số 0, ta không giả thiết rằng các toạ độ này phải tuân theo một quy luật chung; các toạ độ này kế tiếp nhau theo cách tuỳ ý và mỗi trong số chúng được gán một đại lượng đơn lẻ.
Khái niệm hàm số (tiếp)
Dirichlet thừa nhận khái niệm này và định nghĩa hàm liên tục như sau
Giả sử a, và b là các giá trị xác định và x là biến biến đổi giữa hai giá trị a,b. Bây giờ ứng với mỗi giá trị x là một giá trị hữu hạn y, theo cách là x biến đổi một cách liên tục, từ a tới bthì y = f(x)thay đổi một cách từ từ, khi đó y là một hàm liên tục của x trong khoảng này.
Định nghĩa này nhận này nhấn mạnh tính đơn trị của f(x), gần giống theo quan điểm của Riemann. Nếu chúng ta chỉ nhìn vào định nghĩa thì định nghĩa này dường như là khái niệm hàm số được xác định như là sự phụ thuộc tổng quát giữa các biến.
Khái niệm hàm số (tiếp)
Cauchy đã phân biệt một cách rành rọt giữa hàm tường minh và hàm ẩn. Và các hàm số này thường được cho dưới dạng phương trình, hoặc biểu thức. Ông còn chia thành hàm đơn, và hàm hợp.
Khái niệm hàm số của Dirichlet dần dần thay thế khái niệm hàm của Euler trong các tài liệu toán.
Dirichlet
Các định nghĩa của Cauchy
. Biến và hằng
. Giới hạn
. Đại lượng vô cùng bé
. Liên tục
. Hội tụ
. Chuỗi
. Đạo hàm
. Tích phân
Cauchy và giáo trình Giải tích
Cauchy sinh năm 1789 mất 1857, người Pháp, tốt nghiệp kỹ sư tại trường Polytechnique, Paris. Nhưng chỉ làm việc nghề này trong vài năm. Sau sự phục hồi của chế độ quân chủ, năm 1815, ông bắt đầu dạy giải tích ở trường Polytechnique, và một năm sau thì trở thành viện sĩ của viện hàn lâm. Ông là người ủng hộ trung thành chế độ quân chủ của Bourbon và là một người theo đạo thiên chúa bảo thủ. Vì thế sau cuộc cách mạng 1830, ông tự nguyện đi đày, đầu tiên ở Torino và Prague, ở đó ông đã dạy toán cho con của Charles X đã phế truất. Năm 1838, ông trở lại Paris, và phải chờ đến cách mạng (1848) để nhận được vị trí giảng dạy mới tại Khoa Khoa học. Cauchy viết năm cuốn sách và hơn 800 bài báo và là nhà toán học sáng tạo nhiều nhất đã từng sống. Ông có nhiều đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết hàm phức, đại số (giao hoán), lý thuyết sai số, cơ học vũ trụ, và vật lý toán, đặc biệt là lý thuyết chất dẻo và quang học.
Cauchy và giáo trình Giải tích (tiếp)
Cauchy không mấy thành công trong giảng dạy, hầu hết các sinh viên của ông không đánh giá được phong cách rất lý thuyết của ông. Và ngay cả đồng nghiệp thường chỉ trích ông là giảng giải quá dài dòng khi đề cập đến vấn đề tẩn mẩn trong phần nhập môn của giáo trình mà thiếu các phần ứng dụng. Nhưng đúng là sự kiên trì này về cơ sở giải tích thông qua các cuốn sách của ông làm cho Cauchy nổi tiếng của phong trào chặt chẽ.
Cauchy và giáo trình Giải tích (tiếp)
Có người cho rằng, Cauchy đã ăn cắp một vài ý tưởng của Bolzano. Điều quả trách này bị một số nhà lịch sử bác bỏ và không có lý do gì để nghĩ rằng Cauchy đã đánh cắp các kết quả của Bolzano. Có người cho rằng Cauchy không biết khái niệm liên tục đều, hội tụ đều, chẳng hạn khi ông khẳng định một cách sai lầmrằng tổng của các chuỗi hàm liên tục là hàm liên tục (thiếu giả thiết hội tụ đều). Chứng minh hàm liên tục thì có tích phân (không sử dụng tính liên tục đều và liên tục trên một đoạn) nhưng có người cho rằng nếu đọc kỹ các chứng minh của Cauchy thì sẽ thấy rằng ông đã biết thế nào là liên tục đều và hội tụ đều. Cauchy đã thiết lập dãy hội tụ là dãy Cauchy nhưng khi hỏi điều ngược lại, dãy Cauchy có hội tụ hay không thì ông đã phẩy tay.
Sự thực thì có lẽ ông không nhận thức được tính đầy đủ của số thực. Tính chất này phải nằm trong tiên đề khi xây dựng số thực. Có lẽ đấy là lỗ hổng cơ bản xuất hiện trong vài chỗ khác nhau của Cauchy. Đặc biệt trong chứng minh của ông về định lý giá trị trung bình và chứng minh sự tồn tại tích phân của hàm liên tục.
Gauss, Bolzano, Abel, Weirstrass
Gauss (1777 - 1855).
Hai nhà toán học khác, Gauss và Bolzano, đã có những ý tưởng xây dựng cơ sở của giải tích rất giống với ý tưởng của Cauchy một cách độc lập và thậm chí còn sớm hơn. Năm 1850, Gauss còn viết cho Schumacher như sau.
Đặc trưng toán học của thời đại chúng ta là:
ngôn ngữ ký hiệu của chúng ta cho chúng ta một đòn bẩy để tinh giảm những lập luận phức tạp nhất nhằn tạo ra bộ máy nào đó. Bằng cách này họ đã nhận được rất nhiều điều bổ ích, nhưng giống như kinh doand, vẻ đẹp và sự chắc chắn đều bị tổn thất như nhau. Đòn bẩy này được sử dụng một cách máy móc, mặc dù quyền làm như vậy trong hầu hết các trường hợp đều dẫn tới các giả thiết kỹ thuật nào đó.
Tôi nhất quyết cho rằng bằng tất cả các áp dụng của các khái niệm người ta cần phải thận trọng về những điều kiện xuất phát và không bao giờ mất quyền xem xét các kết quả của bộ máy như tài sản của một người nào đó.
Gauss (1777 - 1855).
(tiếp)
Gauss đã định nghĩa lim sup và lim inf cho chuỗi rất chính xác.
Gauss có ảnh hưởng rất ít đến cơ sở của giải tích vì ông thường do dự công bố các kết quả khi chưa chín muồi.
Trong luận án tiến sĩ, Gauss khi mới 22 tuổi đã phát triển khái niệm số phức để chứng minh định lý cơ bản của đại số.
Bolzano
(1781 - 1848).
Bolzano, người Tiệp, chỉ có ảnh hưởng rất ít với sự phát triển của giải tích vì nhiều lý do khác nhau. Ông là một nhà thần học triết học sống ở Prague, cách xa các trung tâm toán học chính. Ông công bố các kết quả toán học nhưng không có kết quả nào mới về mặt kỹ thuật. Các công trình của ông, ngay cả tên của ông không được biết đến trong nửa thế kỷ mặc dù ông đã đào sâu vào cơ sở của giải tích hơn những người đương thời. Bài báo quan trọng nhất của ông, viết năm 1817 dành cho định lý giá trị trung gian.
Bolzano (1781 - 1848). (Tiếp)
Định lý. Nếu tính chất M không thuộc vào tất cả các giá trị của biến x, nhưng thuộc về tất cả các giá trị mà nhỏ hơn một giá trị unào đó thì luôn tồn tạimột lượng U mà là lớn nhất trong số các giá trị mà có thể được khẳng định rằng tất cả các giá trị nhỏ hơn x có tính chất M .
Theo thuật ngữ hiện đại, điều này khẳng định sự tồn tại sup của tập khác rỗng bị chặn trên.
Bolzano (1781 - 1848). (Tiếp)
Cả Largrange và Ampere đã cố gắng chứng minh tất cả các hàm (liên tục theo một nghĩa nào đó trong trường hợp Ampere) đều có đạo hàm trừ các giá trị cô lập. Bolzano đã xây dựng hàm liên tục mà ông có thể chứng minh là không khả vi trên một tập hợp trù mật (thực ra hàm này là không đâu khả vi).
Mặc dù Cauchy không có ý định chứng minh định lý sai rằng mọi hàm liên tục có thể khả vi. Nhưng ông đã làm cho độc giả có cảm giác rằng điều này đúng.
Bolzano (1781 - 1848). (Tiếp)
Mặc dù Bolzano đã vượt những người đương thời về tính chính xác trong giải tích, nhưng ông còn đưa ra những kết luận sai lầm, chẳng hạn ông đã chứng minh một định lý không đúng về vi phân từng từ của chuỗi, và ông lý luận rằng hàm số không khả vi của ông là liên tục vì nó là tổng của chuỗi các hàm liên tục. Đúng như Cauchy đã phạm sai lầm này. Hơn nữa nếu các các công trình của Bolzano người ta biết khi ông viết các tài liệu này thì chắc là sẽ có ảnh hưởng đến sự phát triển của cơ sở giải tích. Nhưng tiếc rằng các tài liệu này chỉ được phát hiện vào quãng năm 1870. Thời gian ấy nó không có ý nghĩa gì ngoài ý nghĩa lịch sử.
Abel (1802 - 1829)
Nhà toán học thứ ba bắt đầu đổi mới cơ sở toán học của Giải tích là Abel, người Nauy. Năm 1826, Abel viết cho thầy giáo của mình là Hansteen
Tôi sẽ dùng tất cả sức lực của mình để làm sáng tỏ bóng đen khổng lớn rõ ràng là tồn tại trong giải tích. Giải tích hoàn toàn thiếu cơ sở và hệ thống do đó, thật lạ lùng là sao mà nó được nhiều người quan tâm đến thế và tồi tệ hơn là nó không được nghiên cứu chặt chẽ. Có một vài định lý trong giải tích cao cấp được chứng minh một cách thuyết phục, khắp mọi nơi ta có thể tìm thấy phương pháp không có tương lai bao gồmtừ trường hợp đặc biệt đến trường hợp tổng quát. Nhưng thật là lạ sau cách tiếp cận như vậy lại có rất ít nghịch lý.
Abel (1802 - 1829) (tiếp)
Abel đã chỉ ra nhiều nhược điểm trong lập luận của những người đương thời, kể cả Gauss, Cauchy,
"Cauchy là kẻ khó chịu và bạn không thể cùng với ông ta bất cứ lúc nào. Cauchy là nhà toán học nổi tiếng nhất, biết phải làm toán như thế nào. ý nghĩ của ông thì tuyệt vời, cách viết thì lờ mờ."
Abel là người đầu tiên chứng minh rằng không thể khai căn đẻ giải phương trình bậc 5.
Giải thưởng Abel có mệnh giá ~ 1.000.000 USA.
Weierstrass
Karl Theodor Weierstrass (1815-1897) người Đức, có những đóng góp đặc biệt cho giải tích. Ông học luật tại đại học Born, nhưng ông không được cấp bằng sau 4 năm uống rượi và đấu kiếm. Sau đó ông học toán và dạy toán 14 năm. Trong thời gian này, ông không có liên hệ (trực tiếp) với thế giới toán học và tự ông phát triển lý thuyết giải tích một cách chặt chẽ.
Weierstrass, người đã học được khái niệm trong các bài giảng của Gudermann về các hàm eliptic vào năm 1839-1840 và sử dụng chính khái niệm đó trong một bài báo năm 1841, trong đó ông chứng minh rằng nếu một chuỗi hàm giải tích hội tụ đều trong miền liên thông, thì tổng của nó là giải tích và có thể lấy vi phân theo từng số hạng.
Weierstrass (tiếp)
Các bài giảng của Weierstrass gồm có bốn khoá học
. Lý thuyết hàm giải tích
. Lý thuyết hàm eliliptic
. ứng dụng hàm elliptic vào hình học và cơ học
. Lý thuyết hàm Abel
Bắt đầu mỗi khoá học, Weierstrass giảng giải phương pháp tiếp cận của mình với cơ sở giải tích. Không như ba khoá sau, nội dung của khoá đầu tiên không được xuất bản khi ông còn sống. Tuy nhiên, các ý tưởng chính sớm được người ta biết đến nhờ các dẫn chứng, ghi chép, các công trình của nhiều sinh viên Đức và nước ngoài học tại Berlin, chứ không phải chỉ vì họ muốn theo các bài giảng của Weierstrass. Một số ghi chép này gần đây đã được xuất bản đầy đủ hoặc một số phần.
Weierstrass (tiếp)
Mối quan tâm của ông về lĩnh vực này dường như là đã xuất phát từ quá trình giảng dạy và thảo luận với Kronecker. Sau đó, Weierstrass và Kronecker đi đến bất đồng sâu sắc về cơ sở đúng đắn của toán học, chẳng hạn như vị trí của số thực, và tổng quát hơn là về các tập vô hạn thực sự, mặc dầu hồi đầu họ chia sẻ quan điểm về tính không đầy đủ của nhiều ý tưởng quan trọng và các phép chứng minh của giải tích. Họ cũng tin rằng cơ sở đúng đắn phải nằm trong số học về các số tự nhiên.
Weierstrass (tiếp)
Cách tiếp cận của Weierstrass với cơ sở giải tích có trong bài viết của ông về hàm và chuỗi rất giống với cách tiếp cận hiện đại, vì vậy ta không cần bàn tới điều này chi tiết hơn. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ nhấn mạnh vài điểm quan trọng. Thông qua cách xây dựng số thực của mình, Weierstrass đã giải quyết được câu hỏi về tính đầy đủ mà Cauchy và Bolzano đã bó tay. Ông trở nên nổi tiếng nhờ phong cách epsilon. Cauchy đã sử dụng các ngôn ngữ epsilon delta và các bất đẳng thức, trong các chứng minh phức tạp của ông, nhưng Weierstrass đã sử dụng kỹ thuật này trong tất cả các chứng minh, cũng như định nghĩa.
Weierstrass (tiếp)
Weierstrass định nghĩa giới hạn của hàm và giới hạn của chuỗi, phân biệt rõ ràng giữa liên tục điểm và liên tục đều trong một khoảng. Ông sử dụng liên tục đều trong một khoảng để cứu vớt định lý Cauchy và cũng chứng tỏ rằng nó trả lời được câu hỏi của Abel về vi phân theo từng số hạng của chuỗi. Ông cũng chứng tỏ rằng tích phân từng số hạng của chuỗi không thể luôn luôn đúng như đã được giả định trước đó nhưng sẽ đúng cho chuỗi hội tụ đều. Từ một ý tưởng này, hội tụ đều trở thành một khái niệm trọng tâm.
Weierstrass (tiếp)
Năm 1872 Heine đã tách bạch hai khái niệm đó và chứng minh rằng một hàm liên tục trên một khoảng đóng thì liên tục đều. Dirichlet đã phát biểu định lý này trong bài giảng về phép tính tích phân năm 1854. Vào cuối thế kỷ 20, H. Borel đã tách bạch tính chất compactness và sử dụng một phương pháp giống với của Heine để chứng minh rằng một khoảng đóng bị chặn thì compact (định lý Heine-Borel).
Thứ nhất, ông quan tâm đến sự khác nhau giữa maximum và một supremum (hoặc minimum và infinimum).
Weierstrass (tiếp)
Chó ý: c¸c nhµ to¸n häc th­êng cho m×nh lµ chÆt chÏ nh­ng trong gi¶I tÝch ®· cã nh÷ng lç hæng rÊt lín. MÆc dï ®· cã lý thuyÕt giíi h¹n lµm c¬ së chÆt chÏ cho gi¶i tÝch th× mét c©u hái c¬ b¶n ®Æt ra lµ: sè lµ g×? VÊn ®Ò nµy ®· ®­îc Dedekind cuèi XIX gi¶i quyÕt b»ng tiªn ®Ò mµ b©y giê ta th­êng dïng kh¸i niÖm l¸t c¾t ®Ó x©y dùng sè thùc.
Tôi hy vọng sẽ có dịp trình bày với các bạn lịch sử của giải tích phức, giải tich hàm, giải tích ngẫu nhiên, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phép tính biến phân mà trong bài giảng này vì lý do thời gian tôi chưa có dịp đề cập tới
Thank you!